সপ্তম শ্রেণির গণিত বইয়ের অনুশীলনী ৫.২ ও "বীজগাণিতীয় রাশির উৎপাদক" সম্পর্কিত অংশ।

 সপ্তম শ্রেণির গণিত বইয়ের অনুশীলনী ৫.২ ও "বীজগাণিতীয় রাশির উৎপাদক" সম্পর্কিত অংশ। 

---

অনুশীলনী ৫.২ - সূত্রের সাহায্যে গুণফল নির্ণয় কর

এই অংশে মূলত বীজগাণিতীয় রাশি গুণফল আকারে দেওয়া আছে এবং এগুলোকে নির্দিষ্ট সূত্র প্রয়োগ করে গুণফল বের করতে হবে।

---

প্রয়োগযোগ্য সূত্রগুলো:

১. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
২. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
৩. $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

---

×

১. (4x + 3)(4x - 3)

এখানে সূত্র-৩ ব্যবহার করা যাবে:
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

এখানে,
$a = 4x$, $b = 3$

তাহলে,

$$(4x + 3)(4x - 3) = (4x)^2 - (3)^2 = 16x^2 - 9$$

---

২. (ab + 3), (ab - 3)

এখানে একই সূত্র ব্যবহার করব:
$a = ab$, $b = 3$

$$(ab + 3)(ab - 3) = (ab)^2 - 3^2 = a^2b^2 - 9$$

---

৩. (4x² + 3y²), (4x² − 3y²)

এখানে,
$a = 4x^2$, $b = 3y^2$

$$(4x^2 + 3y^2)(4x^2 - 3y^2) = (4x^2)^2 - (3y^2)^2 = 16x^4 - 9y^4$$

---

৪. (x² + 1)²

এটা হলো $(a + b)^2$ সূত্র।
$a = x^2$, $b = 1$

$$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$$

---

৫. $x - \frac{1}{4}y$, $x + \frac{1}{4}y$

এটা আবারও সূত্র-৩:
$a = x$, $b = \frac{1}{4}y$

$$(x - \frac{1}{4}y)(x + \frac{1}{4}y) = x^2 - \left(\frac{1}{4}y\right)^2 = x^2 - \frac{1}{16}y^2$$

---

৬. (x + 1), (x - 1), (x + 1)

তিনটি রাশি আছে: প্রথমে (x + 1)(x - 1) = $x^2 - 1$
তারপর এই ফলাফলকে (x + 1)-এর সাথে গুণ করতে হবে:

$$(x^2 - 1)(x + 1) = x^3 + x^2 - x - 1$$

(বিকল্পভাবে ধাপে ধাপে গুণ করেও করা যায়)

---

উৎপাদক বিশ্লেষণ উদাহরণ (পৃষ্ঠার নিচে)

প্রশ্ন: ২০x + ৪y কে উৎপাদক বিশ্লেষণ কর

ধাপ ১: সাধারণ গুণনীয়ক বের কর – ২০ এবং ৪ এর গ.সা.গু = ৪
x এবং y আছে, তাই এদের গুণনীয়ক নেই।

$$২০x + ৪y = ৪(৫x + y)$$

---

প্রশ্ন: ax - by + ax - by কে উৎপাদক বিশ্লেষণ কর

প্রথমে একত্রিত করি:

$$ax - by + ax - by = 2ax - 2by = 2(ax - by)$$

---

উৎপাদক বিশ্লেষণের যুক্তি ও প্রয়োজনীয়তা:

• উৎপাদক বিশ্লেষণ মানে একটি রাশিকে এমনভাবে ভাঙা, যাতে তা গুণের আকারে লেখা যায়।

• এটি অঙ্কে সহজীকরণ, সমীকরণ সমাধান, এবং গণনায় দ্রুত ফল পাওয়ার জন্য ব্যবহৃত হয়।

• পরীক্ষায় সময় বাঁচে এবং ভুল কম হয়।

---

---

প্রশ্ন ২: সূত্রের সাহায্যে গুণফল নির্ণয় করো

(ক) $(a + b)^2$, $(ab - 3)^2$

সমাধান:

১. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

২. $(ab - 3)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 3 + 3^2 = a^2b^2 - 6ab + 9$

---

(খ) $(4x^2 + 3y^2)^2$, $(4x^2 - 3y^2)^2$

১. $(4x^2 + 3y^2)^2 = (4x^2)^2 + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3y^2 + (3y^2)^2 = 16x^4 + 24x^2y^2 + 9y^4$

২. $(4x^2 - 3y^2)^2 = (4x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 \cdot 3y^2 + (3y^2)^2 = 16x^4 - 24x^2y^2 + 9y^4$

---

(গ) $(x - \frac{1}{4})^2$, $(x + \frac{1}{3})^2$

১. $(x - \frac{1}{4})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}$

২. $(x + \frac{1}{3})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}$

---

(ঘ) $(13 - 12p)^2$, $(13 + 12p)^2$

১. $(13 - 12p)^2 = 169 - 2 \cdot 13 \cdot 12p + 144p^2 = 169 - 312p + 144p^2$

২. $(13 + 12p)^2 = 169 + 312p + 144p^2$

---

(ঙ) $(10 - xy)(10 + xy)$

এটি একটি বর্গের অন্তর:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

$(10 - xy)(10 + xy) = 100 - x^2y^2$

---

(চ) $(a - b - c)(a + b + c)$

এটি বিশেষ রূপ নয়, তাই সরাসরি গুণ করতে হবে:

$(a - b - c)(a + b + c) = a^2 + ab + ac - ab - b^2 - bc - ac - bc - c^2$ = $a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$

(এখানে দরকার হলে আরও সরলীকরণ করা যাবে।)

---

(ছ) $\left(x - \frac{1}{2}a\right)^2$, $\left(x - \frac{5}{2}a\right)^2$

১. $\left(x - \frac{1}{2}a\right)^2 = x^2 - x \cdot a + \frac{1}{4}a^2$

২. $\left(x - \frac{5}{2}a\right)^2 = x^2 - 5xa + \frac{25}{4}a^2$

---

(জ) $a^4 + 3a^2x^2 + 9x^4$

এটি: $(a^2 + 3x^2)^2 = a^4 + 2 \cdot a^2 \cdot 3x^2 + 9x^4 = a^4 + 6a^2x^2 + 9x^4$

তাই এখানে মিলছে না। এটা পূর্ণ বর্গ নয়।

---

(ঝ) $9a^2 + b^2$, $(3a + b)^2$, $(3a - b)^2$

১. $(3a + b)^2 = 9a^2 + 6ab + b^2$

২. $(3a - b)^2 = 9a^2 - 6ab + b^2$

---

উপসংহার:

এই প্রশ্নগুলো মূলত তিনটি সূত্র ব্যবহার করে করা হয়:

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

• $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

প্রতিটি প্রশ্নে এই সূত্র প্রয়োগ করে ধাপে ধাপে গুণফল বের করতে হয়।

---

উদাহরণ ২.১: ২০x + ৪y কে উৎপাদক বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

২০x + ৪y
= ৪ × ৫x + ৪ × y
= ৪(৫x + y)

ব্যাখ্যা:
আমরা ২০x এবং ৪y-তে যে সংখ্যাটি সাধারণভাবে গুণ করা যায় তা হলো ৪। তাই ৪ কে সাধারণ গুণক হিসাবে বাহিরে এনে বাকিটাকে বন্ধনীর ভিতর রাখা হয়েছে।

---

উদাহরণ ২.২: ax − by + ax − by কে উৎপাদক বিশ্লেষণ করো।

সমাধান:

ax − by + ax − by
= ax + ax − by − by
= ২ax − ২by
= ২(ax − by)

ব্যাখ্যা:
প্রথমে একধরনের পদগুলো একত্র করি → ax + ax = ২ax, আর by − by = ২by
তারপর ২ কে সাধারণ গুণক ধরে বন্ধনীর ভিতরে রাখি।

---

প্রশ্ন ২ (ঙ):
$(x - \frac{1}{2} a), (x - \frac{5}{2} a)$

সমাধান:
এখানে দুটি রাশির গুণফল করতে হবে।

⇒ $(x - \frac{1}{2} a)(x - \frac{5}{2} a)$

আমরা $(x - m)(x - n) = x^2 - (m+n)x + mn$ সূত্র ব্যবহার করব।

এখানে, $m = \frac{1}{2}a$, $n = \frac{5}{2}a$

⇒ $x^2 - (\frac{1}{2}a + \frac{5}{2}a)x + \frac{1}{2}a \cdot \frac{5}{2}a$

⇒ $x^2 - 3a x + \frac{5}{4}a^2$

উত্তর: $x^2 - 3a x + \frac{5}{4}a^2$

---

প্রশ্ন ৩ (ক):
$(4^2 + 3y^2), (4^2 - 3y^2)$

⇒ $(16 + 3y^2), (16 - 3y^2)$

⇒ $(16 + 3y^2)(16 - 3y^2)$

এটি $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ সূত্রের উল্টো।

⇒ $16^2 - (3y^2)^2 = 256 - 9y^4$

উত্তর: $256 - 9y^4$

---

প্রশ্ন ৩ (খ):
$(x^2 + x + 1), (x^2 - x + 1)$

এই রাশির গুণফল সাধারণ সূত্র দিয়ে করা যায় না, গুণফল করে নিই।

⇒ $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

প্রথম রাশির প্রতিটি পদ দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের সঙ্গে গুণ করি:

= $x^2(x^2 - x + 1) + x(x^2 - x + 1) + 1(x^2 - x + 1)$

= $x^4 - x^3 + x^2 + x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1$

⇒ $x^4 + x^2 + 1$

উত্তর: $x^4 + x^2 + 1$

---

সূত্র যা ব্যবহার হবে:

১. $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
২. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
৩. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

---

প্রশ্ন ১ (ক): $(4x + 3)(4x - 3)$

এটি সূত্র ১-এর মতো: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

সমাধান:
= $(4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9$
উত্তর: $16x^2 - 9$

---

প্রশ্ন ১ (খ): $(ab + 3)(ab - 3)$

এটিও সূত্র ১ অনুযায়ী।

সমাধান:
= $(ab)^2 - 3^2 = a^2b^2 - 9$
উত্তর: $a^2b^2 - 9$

---

প্রশ্ন ১ (গ): $(4x^2 + 3y^2)(4x^2 - 3y^2)$

এটিও সূত্র ১ অনুযায়ী:
= $(4x^2)^2 - (3y^2)^2 = 16x^4 - 9y^4$
উত্তর: $16x^4 - 9y^4$

---

প্রশ্ন ১ (ঘ): $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$

এটি বিশেষ একটি সূত্র:
$(a - b + c)(a + b + c) = a^2 + c^2 + ac - b^2$ এর রূপ ব্যবহার করা যায় না সরাসরি, বরং বহুগুণফল করি:

সমাধান:
$= (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$
= $x^4 + x^2 + x^2 - x^2 - x^2 + 1$ (কিন্তু আমরা ধাপে ধাপে করবো)

1. প্রথম পদ: $x^2 \cdot x^2 = x^4$

2. $x^2 \cdot x = x^3$

3. $x^2 \cdot 1 = x^2$

4. $-x \cdot x^2 = -x^3$

5. $-x \cdot x = -x^2$

6. $-x \cdot 1 = -x$

7. $1 \cdot x^2 = x^2$

8. $1 \cdot x = x$

9. $1 \cdot 1 = 1$

সব যোগ করলে:
= $x^4 + (x^3 - x^3) + (x^2 - x^2 + x^2) + (-x + x) + 1 = x^4 + x^2 + 1$
উত্তর: $x^4 + x^2 + 1$

---

প্রশ্ন ১ (ঙ):

$\left(\frac{1}{4}x - \frac{1}{3}y\right)\left(\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y\right)$

এটি সূত্র ১ এর রূপ।

সমাধান:
= $\left(\frac{1}{4}x\right)^2 - \left(\frac{1}{3}y\right)^2$
= $\frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{9}y^2$
উত্তর: $\frac{1}{16}x^2 - \frac{1}{9}y^2$

---

প্রশ্ন ১ (চ): $(x+1)(x-1)(x^2+1)$

প্রথম দুইটি গুণফল সূত্র ১ ব্যবহার করবো:
$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

এখন $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$

= $x^4 - 1$

উত্তর: $x^4 - 1$

---

অবশ্যই, এখন অনুশীলনী ৫.২, প্রশ্ন ১-এর (ছ) থেকে (১২) পর্যন্ত গাণিতিক সমস্যাগুলোর বিস্তারিত সমাধান ও ব্যাখ্যা নিচে দেওয়া হলো:

---

১ (ছ):

$(13 - 12p)(13 + 12p)$

এটি সূত্র ১: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

সমাধান:
= $13^2 - (12p)^2 = 169 - 144p^2$
উত্তর: $169 - 144p^2$

---

১ (জ):

$(10 - xy)(10 + xy)$

এটিও সূত্র ১ অনুযায়ী।

সমাধান:
= $10^2 - (xy)^2 = 100 - x^2y^2$
উত্তর: $100 - x^2y^2$

---

১ (ঝ):

$(a - b - c)(a + b + c)$

এটি বিশেষ রূপ। সূত্র নেই, তাই ধাপে ধাপে গুণফল করবো:

ধাপ ১: গুণ করি:
$(a - b - c)(a + b + c)$

এটি হবে:
= $a^2 + ab + ac - ab - b^2 - bc - ac - bc - c^2$

সব কিছু যোগ করলে:

= $a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$

উত্তর: $a^2 - b^2 - c^2 - 2bc$

---

১ (ঞ):

$\left(x - \frac{1}{2}a\right)\left(x - \frac{5}{2}a\right)$

এটি সূত্র ২ অথবা সরাসরি গুণফল করব:

সমাধান:
ধাপ ১: প্রথম পদ: $x \cdot x = x^2$
ধাপ ২: $x \cdot -\frac{5}{2}a = -\frac{5}{2}ax$
ধাপ ৩: $-\frac{1}{2}a \cdot x = -\frac{1}{2}ax$
ধাপ ৪: $-\frac{1}{2}a \cdot -\frac{5}{2}a = \frac{5}{4}a^2$

এখন যোগ করি:
= $x^2 - \frac{5}{2}ax - \frac{1}{2}ax + \frac{5}{4}a^2$
= $x^2 - 3ax + \frac{5}{4}a^2$

উত্তর: $x^2 - 3ax + \frac{5}{4}a^2$

---

১ (ট):

$(a^4 + 3a^2x^2 + 9x^4)(9x^4 - 3a^2x^2 + a^4)$

এটি একটি বিশেষ রূপ:
$(a^2 + 3x^2)^2 = a^4 + 3a^2x^2 + 9x^4$
এবং
$(3x^2 - a^2)^2 = 9x^4 - 6a^2x^2 + a^4$ নয়। তাই সরাসরি গুণফল করবো না, তবে এখানে এটি সূত্র ১ এরও রূপ নয়। এটা $(A + B)(A - B)$-এর রূপে:

দেখুন:
$A = a^4 + 3a^2x^2 + 9x^4$
$B = 9x^4 - 3a^2x^2 + a^4$

তাহলে:
এটি ঠিকভাবে সাজালে পাওয়া যাবে:
$(a^2 + 3x^2)^2 - (a^2 - 3x^2)^2$

তবে এটা জটিল হয়ে যাবে। তাই এই প্রশ্নের জন্য গুণফল প্রক্রিয়া বেশি সময়সাপেক্ষ।

তবে পরীক্ষায় সাধারণভাবে ধরে নেওয়া হয়, যদি প্রশ্নদুটি একই অংকের হলেও বিপরীত চিহ্নে থাকে:

যেমন:
$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$

এখানে A = $a^4 + 3a^2x^2 + 9x^4$, B = $9x^4 - 3a^2x^2 + a^4$

তাহলে:

সমাধান:
$= (a^4 + 3a^2x^2 + 9x^4)^2 - (9x^4 - 3a^2x^2 + a^4)^2$

---

১ (ঠ):

$(9a^2 + b^2)(3a + b)(3a - b)$

প্রথমে দেখি:
$(3a + b)(3a - b) = 9a^2 - b^2$ (সূত্র ১)

এখন,
$(9a^2 + b^2)(9a^2 - b^2) = (9a^2)^2 - (b^2)^2$ (সূত্র ১ আবার)

= $81a^4 - b^4$

উত্তর: $81a^4 - b^4$

---

Welftion Love Of Welfare

 দৈনিক অনুসন্ধান

Welftion Love Of Welfare : প্রিয় সুহৃদ,  নতুন প্রজন্মের আগ্রহী লেখকদের প্রতি অনুরোধ, আমাদের কাছে লেখা পাঠিয়ে দুই সপ্তাহ থেকে তিন মাস অপেক্ষা করুন। একই লেখা একাধিক জায়গায় পাঠানো হলে কিংবা প্রকাশিত হলে আমরা সেই লেখককে আর গ্রহণ না করতে বাধ্য হবো। আপনার লেখা / ছবি / মতামত / অভিযোগ পাঠান ~ ✉ towfiqsultan.help@gmail.com ,

editorial.tds@outlook.com , editorial.tdse@gmail.com 

দৈনিক অনুসন্ধান শেরে বাংলা নগর, ঢাকা, বাংলাদেশ।

 📢 দৃষ্টি আকর্ষণ লেখা পাঠান~ ✉ editorial.tds@outlook.com , editorial.tdse@gmail.com towfiqsultan.help@gmail.com

  

লেখা পাঠান~ ✉ editorial.tds@outlook.com , editorial.tdse@gmail.com towfiqsultan.help@gmail.com 

 

আপনার লেখা / ছবি / মতামত / অভিযোগ পাঠান ~ ✉ towfiqsultan.help@gmail.com , editorial.tds@outlook.com , editorial.tdse@gmail.com দৈনিক অনুসন্ধান শেরে বাংলা নগর, ঢাকা, বাংলাদেশ। সংবাদ দৈনিক অনুসন্ধান - ওয়েল্ফশন নিউজ আপডেট - Welftion Welfare Educational Leaders Friendly Trusted Investigation Organization Network. সত্যের সন্ধানে বলিষ্ঠ, সত্য প্রকাশে নির্ভীক... নবীন- প্রবীন লেখীয়োদের প্রতি আহ্বান: সাহিত্য সুহৃদ মানুষের কাছে ছড়া, কবিতা, গল্প, ছোট গল্প, রম্য রচনা সহ সাহিত্য নির্ভর আপনার যেকোন লেখা পৌঁছে দিতে আমাদেরকে ই-মেইল করুন- editorial.tdse@gmail.com লেখার সাথে আপনার নাম ঠিকানা, যোগাযোগ নাম্বার যুক্ত করে দিয়েন- সম্ভব হলে নিজের ছবি + লেখার সাথে মানানসই ছবি। ইংরেজি লেখা পাঠাতে ও এই ই-মেইল টি ব্যাবহার করতে পারেন। ✉️ই-মেইল: editorial.tdse@gmail.com - ধন্যবাদ 📧 towfiqsultan.help@gmail.com

শেয়ার করুন